1.金利が12％のとき、6年の割引ファクターは0.507である。12％で運用されたとすると、0.507ドルは6年後には何ドルの価値になるか。

1.00ドル

2.1.39ドルの現在価値が125ドルであるとすると、割引ファクターはいくらか。

125/139＝0.899

3.資本コストが9％のとき、9年後に支払われる374ドルの現在価値はいくらか。

374/（1.09）9＝172ドル

4.あるプロジェクトは、1年目に432ドル、2年目に137ドル、3年目に797ドルのキャッシュフローをもたらす。資本コストが15％のとき、プロジェクトの現在価値はいくらか。

375.65+103.59+524＝1003ドル

5.利率15％で100ドルを投資したとすると、8年後の期末に受け取る金額はいくらか。

306ドル

6.1,548ドル投資すれば、毎年138ドルの支払いが永久にもたらされる投資がある。金利9％のとき、この投資の純現在価値はいくらか。

NPV=-1548+138/0.09＝-14.67

7.ある普通株式は、次の年に4ドルの現金配当を行う。その後、配当は永久に年率4％で増加してゆくことが期待されている。割引率を14％とすると、この一連の配当金の現在価値はいくらか。

4/（1.14-1.04）＝40ドル

8.1998年5月、引退した夫婦が1ドルでパワーボールくじを購入し、記録的な賞金1億9,400万ドルを獲得した。しかし、この賞金は25年の等額・分割払いで支払われることになっていた。最初の支払いは直ちに行われ、金利が9％であったとすると、賞金にはいくらの価値があったか。

毎回の支払額は、19400/25＝776万ドル。支払いが各年の年末に行われる場合には、現在価値＝776×（25年の年金現価）＝776×9.823＝7623万ドル。支払いは、各年の年初であるので、現在価値=7623×1.09＝8308万ドル。

9.金利を10％とする。
a.永久に年1ドルを払う資産の現在価値はいくらか。

1/0.1＝10ドル

b.年率10％で増加する資産の価値は大体7年で倍になる。8年目から永久に1ドル受け取れる資産のおおよその現在価値はいくらか。

5ドル

c.今後7年間、毎年1ドルずつ受け取れる資産のおおよその現在価値はいくらか。

１０－５＝５どる

d.ある土地が年率5％で成長する収入をもたらす。1年目の収入が1万ドルであるとき、土地にはいくらの価値があるか。

10000/（0.1-0.05）＝20万ドル

10.a.新しい自動車には1万ドルの費用がかかる。金利が5％のとき、5年後にこの額を用意できるようにするには、現在いくらを取り分けておけばよいか。

7840ドル

b.あなたは今後6年間、毎年の年末に授業料として1万2,000ドルを支払わなければならない。金利が8％のとき、このしはらいのために現在いくら取り分けておかなければならないか。

12000×4.623＝55476ドル

c.あなたは8％で6万476ドルの投資をしている。上の授業料を支払うと、6年後にはいくら残っているか。

1.086×（60476－55476）＝7934ドル

11.ベルグラビアン共和国に25％で投資する機会があるが、インフレ率は21％である。実質金利はいくらか。

（1.25/1.21）－1＝0.033

12.連続複利の金利を12％とする。
a.この金利で1,000ドルを投資すると、5年後には投資の価値はいくらになるか。

1822ドル

b.8年後に受け取れる500万ドルの現在価値はいくらか。

191.4万ドル

c.直ちに開始され、15年間続く年2000ドルの連続的なキャッシュフローの現在価値はいくらか。

13912ドル

131000万ドルの投資に金利6％は提示されている。4年後の投資の価値は、金利が次の複利であるとき、それぞれいくらになるか。
a.年あたり

1262.5万ドル

b.月当たり

1270.5万ドル

c.連続

1271.2万ドル

どのような現在価値の練習問題でも難しいことは、問題を正確に設定することにある。いったん問題の設定がなされると計算が出来なければならないが、それはさほど難しいことではない。

すう期間にわたって支払いのある資産の現在価値を求める基本的な公式は、1期間の公式をそのまま拡張したいかのような公式である。

現在価値（PV）＝C1/1+r1+C2/(1+r2)2+・・・

あらゆる現在価値はこの公式で求められるが、各満期で金利が等しいときには、退屈な計算を縮減する簡便方がいくつか存在する可能性がある。このような3つのケースを検討した。1番目は、永久に年Cドル支払われる資産のケースであり、この現在価値は簡単に、

現在価値（PV）＝C/r

となる。2番目は、支払いが一定の割合で永久に増加するような資産のケースであり、この現在価値は、

現在価値（PV）＝C1/ｒ-ｇ

となる。3番目は、年Cドルがｔ年間支払われる年金型投資商品のケースで、この現在価値を求めるためには、2つの永久債の価値の差を取ればよい。すなわち、

現在価値＝C[1/ｒ-1/ｒ（1+ｒ）ｚ]

となる。これらの簡便方の式では、最初のキャッシュフローは1年目の終わりに生じると仮定しているこちに注意しておこう。

次のステップでは、割引は複利のプロセスであるということを説明した。現在価値とは。キャッシュフローC1,C2、・・・、などのキャッシュフローを生み出すために金利ｒで今投資する必要がある額をいう。誰かが1ドルを年利ｒで貸してくれるというときには、利払いがどれぐらいの頻度で複利計算されてゆくのかを常にチェックしなければならない。複利の間隔が1年であれば、（1+ｒ）ｔドルを返済しなければならない。他方、連続複利の計算となっていれば、2.718ｒｔドル（あるいは、通常ertと表現される額のドル）を返済しなければならない。資本支出予算を組む際には、キャッシュフローが毎年の期末に生じると仮定して年複利で割り引くとすることが多い。しかし、キャッシュフローが年間を通じて均一に生じていると仮定したほうが適当な場合もあり、このときには連続複利を遣わなければならない。

名目キャッシュフロー（実際に支払う、あるいは受け取るドルの額）とインフレを調整した実質キャッシュフローを区別することは重要である。同様に、高い名目金利を約束している投資でも、インフレ率が高ければ実質金利は低く、マイナスにもなり得る。

本章では、後で何度も出てくる２つの重要な考え方を紹介した。その第一は、現在価値は加えることができるということである。A+Bの現在価値を求める公式が、Aの現在価値を求める公式とBの現在価値を求める公式との和に等しくなければ、どこかでミスをしたということである。第2に、裁定機会あるいはマネーマシンのようなことはめったに見られず、すぐに消滅するということである。もしそれが見つかったと思うようなことがあれば、戻って計算をチェックすべきである。

1000ドルを10％の金利がつく銀行に預ければ、銀行は年末に1100ドル支払うことを約束する。しかし1100ドルで何が買えるかについては何の約束もない。これは、年間のインフレ率次第である。財・サービスの価格が10％以上で上昇すれば、購買可能な財で計った単位で見ると損をしたことになってしまう。

物価の一般的な水準の推移を把握するために、いくつかの指標が使われている。一番よく知られているのは、消費者物価指数、すなわちCPIであり、典型的な家計の消費に必要なドルの量を測るものである。ある年から翌年までのCPIの変化でインフレ率が測られる。米国におけるインフレ率を示している。インフレーションは、第一次世界大戦の末期にピークに達し、21％にもなった。しかし、この数字も1923年ドイツのインフレーションと比較すれば、たいしたものではなくなってしまう。ドイツのインフレ率は、年あたり200億％以上にもなったのである。もちろん、物価は常に上がっているわけではない。最近の日本、アルゼンチンや香港ではデフレーションの問題に直面している。米国は、大恐慌期には3年間で24％も物価が下落するという厳しいデフレーションを経験している。

エコノミストは、現在価格表示あるいは名目のドルと、固定価格表味あるいは実質のドルを区別して話すことがある。たとえば、1年間の銀行預金から得られる名目のキャッシュフローは1100ドルであるが、財の価格が年率6％上昇すると、翌年には現在購入できる財より6％少ない財しか購入できない。したがって、年末の1100ドルで買える財は、現在の1100/1.06＝1037.74ドル分でしかない。つまり、預金の名目のペイオフは1100ドルであるが、実質のペイオフは1037.74ドルに過ぎない。

将来のｔ期における名目キャッシュフローを実質キャッシュるローに変換する一般的な公式は、

実質のキャッシュフロー＝名目キャッシュフロー/（1+インフレ率）ｔ

となる。たとえば、仮に1000ドルを10年間、10％で投資すれば、将来の名目のペイオフは1000×1.120＝6,727.50ドルとなるが、年間インフレ率が6％であれば、ペイオフの実質価値は6,727.50/1.0620＝2,097.67ドルとなろう。すなわち、現在持っているドルのおよそ6倍のドルを手にするが、財は2倍しか購入できないだろうということである。

銀行が10％の金利を提示しているというときは、これは名目金利である。このレートは、投資資金が増加していく速さを示している。

現在のドルでの投資額　　　　　　　　　　　1期後のドルでの受け取り　　　　　　　　　　　結果
1,000　　　　　　　　　　　　　　　⇒　　　　　　　　　　　1,100　　　　　　　　　　　　　　　　10％の名目収益率

しかし、インフレ率が6％であれば、現在と比べて年末にはたった3,774％しか豊かになっていない。

現在のドルでの投資額　　　　　　　　　　　1期後の受け取りの期待実質価値　　　　　　　　　　　結果
1,000　　　　　　　　　　　　　　　⇒　　　　　　　　　　　1,037.74　　　　　　　　　　　　　3.774％の期待実質収益率　

したがって、「銀行は10％の名目収益率を提示する」、あるいは「銀行は3.774％の期待収益率を提示する」ということになる。ここで名目収益率は確定値だが、実質収益率は期待値に過ぎないことに注意が必要である。実際の実質の収益率は、年末になってインフレ率がわかるまでは計算できない。

インフレ率が6％であれば、10％の名目収益率は3.774％の実質収益率に換算できる。実質収益率を計算する公式は、

1+ｒ名目＝（1＋ｒ実質）（1+インフレ率）
＝1+ｒ実質+インフレ率+（ｒ実質）×（インフレ率）

となる。前の例では、次のようになる。

1.10＝1.03774×1.06
　　　　　

先ほどの自動車ローンの場合には、ｍ＝１２で金利は６％だった。したがって、年複利は、[１＋（ｒ/ｍ）]ｍ－１＝[1+0.06/１２]ー１＝０．０６１７で６．１７％となる。毎月の複利計算ではなく、週次（ｍ＝５２）、あるいは、どのくらい短い複利の間隔を考えているかということについては、実際のところ何の制約もない。支払いが1年間を通じて均一に分散され、連続的に行われる場合も考えられ、このときの金利が連続複利（continuos compounding）である。この場合には、ｍは無限大である。

ファイナンスでは、連続複利が有用な場合が数多くある。すぐ後で見るように、一つは資本支出予算の計算に適用する場合である。もうひとつの重要な適用は、Black-Schooles式のようなオプション価格モデルの場合である。これらは、連続時間のモデルである。オプション価格を計算するコンピュータ・プログラムのほとんどでは、連続複利での金利が必要となる。

連続複利の金利を求めるには大変な計算が必要であるように思われるかもしれないが、高校の代数を思い出してみればよい。ｍが無限大に近づくときには、[１+（ｒ/m）]mは（２．７１８）ｒに近づく。２．７１８という数字、これはeと呼ばれるが、自然対数の底である。したがって、１ドルをｒの連続複利で投資すれば、１年目の終わりにはer=（２．７１８）ｒとなる。ｔ年後の終わりには、ｒｔ＝（２．７１８）に増加する。

例1
連続複利11％（ｒ＝0.11）で1年間（ｒ＝1）1ドルを投資するとしよう。期末の価値はe0.11,すなわち1.116ドルとなる。つまり、連続複利11％の投資は、年複利11.6％の投資とちょうど等しい。

例2
連続複利11％（ｒ＝0.11）で2年間（ｔ＝2）1ドルを投資するとしよう。この投資の期末の価値は、ert=e0.22で、1.246ドルとなる。

期末支出予算においては、キャッシュフローが年末に生じたとするよりも1年の間均一に生じてきていると考えたほうがもっともであることもある。こうした状況を扱えるように我々の先ほどの公式を当てはめることは簡単である。たとえば、毎年Cドルの永久債の現在価値を計算したいとしよう。もし利払いが年末に行われるならば、年複利ｒで支払額を割ればよいことはすでに知っている。

現在価値（PV）＝C/r

仮に同じ支払総額で1年間均等な支払いが行われるのであれば、代わりに連続複利を用いれば同じこの公式が使える。

例3
年複利が18.5％とする。年末にキャッシュフローを受け取るときには、100ドルの永久債の現在価値は、100/0.185＝540.54ドルとなる。もしキャッシュフローを連続的に受け取るのであれば、100ドルを17％で割らなければならない。なぜなら、連続複利17％は年複利18.5％と同等だからである（e0.17=1.185）。連続的なキャッシュフローの現在価値は、100/0.17＝588.24ドルとなる。キャッシュフローが直ちに生じるため、投資家は連続的な現金の支払いにはより大きい額を準備することになる。

他のどのような連続的な支払いについても、常に年金型投資商品の価値を求める公式を使うことができる。たとえば、博愛家がまじめに考えつめ、年老いたロバのための家を作ろうと決め、毎年10万ドルの支払いをすぐに始め、20年間均一に支払おうとしているとしよう。先ほどは年複利10％を使ったが、今回は連続複利ｒ＝9.53％（e0.0953=1.10）を使わなければならない。このような支出を可能とするために、博愛家は以下の総額を用意しなければならない。

現在価値（PV）＝C（1/ｒ-1/ｒ×1/ert）=100,000×（1/0.0953-1/0.0953×1/6.727）＝100,000×8.932＝89万3,200ドル

前述した年金投資商品の議論を吹くかえって見ると、20年間にわたり年末に10万ドルずつ支払われる投資の現在価値は85万1,400ドルであった。したがって、博愛家は連続的に支払うためには4万1800ドルもしくは5％多く支払わなければならない。

ファイナンスの世界では、現在価値のおよその推定値が必要とされることも多い。現在価値の計算における5％の誤差は完全に許容範囲かもしれない。このような場合には、キャッシュフローが年末に生じるとするか、連続的とするかは通常問題とならない。正確さを問題にするときには、キャッシュフローの生じる正確な頻度に注意が必要である。

これまでキャッシュフローは期末に生じることを暗黙に仮定していた。そういう場合もある。たとえば、フランスとドイツでは、ほとんどの会社が年に1回社債の金利を払っている。しかし、米国やイギリスでは多くが半年後とに利払いを行う。これらの国では、投資家は最初の支払いに対して6か月分の追加の利子が得られるため、半年複利で年10％の社債に投資した100ドルの価値は、最初の6ヶ月で105ドル、1年後には１.０５2×１００＝１１０．２５ドルとなる。つまり、１０％半年複利の投資は１０．２５％の年複利の投資に等しい。 別の例を示そう。銀行が6％の金利で自動車ローンを提供していたとする。毎月利払いを行わなければならないとすると、月々の利払い額は6/12＝０.５％である。月次の収益率は複利計算されるので、このローンの真の年利は６％ではなく、１．００５12－１＝０．０６１７、すなわち、６，１７％である。 一般化すると、年ｒ％のｍ回複利の投資１ドルは１年後には[１＋（ｒ/ m）]mドル、それと同等の年複利の投資の利率は[１＋（ｒ/ｍ）]ｍ－１となる。